음의 정수의 표현, 보수법

Short Articles 2012. 2. 27. 10:43
전 전공이 전자계열, 컴공이나 소프트웨어 계열쪽이 아니라 가끔 이런 기초적인 부분들을 찾아 보곤합니다.
관련 학과를 졸업하신 분들이야 이미 알고 계실 부분이고,
조금만 검색해보면 다 나오는 내용이지만 그래도 간략히 다시 포스팅을 정리해 봅니다.


1. 처음 2진수로 음의 정수를 표현하고자 했던 방식은 최상위 비트를 부호 비트로 두는 것이었습니다.
(최상위 비트가 1 이면 음수, 0 이면 양수)



그림과 같이 +1 과 -1 은 최상위 비트가 0 과 1 로 구별됩니다.

이 방식의 문제점은 0 을 표현하는 데 있어서

00000000
10000000



이렇게 +0 , -0 두 개의 표현이 나오게 된다는 것과
두 수의 부호가 같은지 다른지 등을 구별해서 가산기 로직을 탈 것인지,
감산기 로직을 탈 것인지를 판별하는 등 연산이 복잡해진다는 것입니다.
예를 들어,
(+1) + (-1) 은
0000001 + 10000001 로 표현되는데, 이것을 그대로 더하면 100000010 (-2) 라는 결과가 되버립니다.
그리고 값의 크기 비교도 부호에 따라 판별을 달리해야하는 모순이 생깁니다.
인간의 관점에서는 당연스럽지만 기계에 있어서는 일관된 법칙을 적용하기가 힘들어지는 방식입니다. 


2. 그래서 이 다음으로 나온 방식이 1의 보수법입니다.
1의 보수법에서 음수의 표현은 단순히 해당 수의 각 비트를 반전 시키는 것입니다.
 



1의 보수법은 단순히 비트를 반전시키는 것이기 때문에 부호 처리가 매우 쉬워졌습니다.
음수에 대한 비교 연산 역시 일관성을 갖게 되었습니다.

11111101 > 11111100     -2  > -3 

하지만, 1의 보수법도 여전히 0 의 표현이 두 가지로 존재하고 계산 과정에서
캐리를 감지해서 LSB(최하위 비트)에 더해주는 작업이 필요합니다.

예를 들어,
(-2) + (-3) 은 다음과 같이 되는데


이것을 그대로 사용하게 되면 -6 의 값이 되지만
캐리가 발생하였으므로 LSB 에 1을 더해서 다음과 같이 처리하게 됩니다.
(캐리 발생은 8086 계열의 CPU 의 경우 flag register 의 0번 비트를 보고 판별합니다.)


3. 1의 보수법 다음으로 1의 보수법이 가진 문제점이 개선되어 나온 것이 2의 보수법 입니다.
2의 보수법은 1의 보수를 취한 후에 단순히 1을 더해줌으로써 음수를 표현합니다.

(-2) + (-3)



0 의 표현



이렇게 함으로써 얻게된 잇점은

  • 0 에 대한 표현이 하나로 줄어들고 해당 비트 영역에서 표현 가능한 수가 1 늘어 납니다.
  • 캐리를 신경쓰지 않아도 됩니다.
  • 음수의 뺄셈을 감산기를 이용하지 않고 덧셈으로 처리할 수 있습니다.


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Short Articles 2012. 2. 22. 20:05
표현식 템플릿은 숫자 배열 클래스를 지원하기 위해 고안된 프로그램이 기술입니다
이번 아티클은 다음과 같이 진행합니다
1. 단순한 배열 클래스 구현하여 배열 연산에 대한 문제제기
2. 표현식 템플릿 구현
3. 표현식 템플릿을 아는 랩퍼클래스 구현
4. 실재 표현식 템플릿 사용해서 어떻게 동작하는 방법 추적  
전체 표현식을 다 읽기 전에는 표현식의 일부만 계산하지 않고 전체 계산하기전에 어떤 객체에 무슨 연산이 적용되었는지 기록하는 것이 표현식 템플릿의 핵심입니다

 첫시간에 SArray 단순 배열 클래스를 만들었습니다
두번째에 A_Add, A_Mult, A_Scalar에 대해서 배웠습니다
(스칼라 때문에 A_Traits 이라는 특질클래스도 배웠습니다)
세번째에 Array 클래스와 연산자 배웠습니다

처음으로 돌아가서 배열 연산을 해봅시다

이 연산 부터 알아봅시다
1.2*x
연산자 오버로딩 중에 스칼라와 배열 곱셈연산이 호출됩니다

지저분 하네요 --; 이전에 설명 했습니다
템플릿 인자 추론(template argument deduction)이 되네요
operator* 의 Parameters : Arguments 로 구분하면
T const& s                :               1.2
Array const& b           :               x
T는 double 이고 R2는 SArray
double const& s , Array const& b 입니다
리턴타입
Array<T,A_Mult<T,A_Scalar<T>,R2> > 은  A_Scalar<T>와 R2 곱셈연산 결과를  A_Mult<T,A_Scalar<T>,R2> 가지고 있고 다른 곱셈 및 덧셈에 연산하기 위해 Array 래퍼클래스에 담고 있습니다
해당 객체를 생성자 리턴하는 아주 간결한(?) 코드 입니다
그러니까 A( B(c,d) ) 이런 구문이라고 할까요?
A객체를 생성하려면 B객체를 필요하고 B객체를 생성하려면 c,d 가 필요한경우 입니다

Array<...>(...) 결국 껍데기는  Array 이거이죠. 생성자를 호출한 코드입니다
Array<T,A_Mult<...> >(A_Mult<...>(...) ) Array에 실재 저장 하는 배열클래스를 넣어야 합니다 Array 생성자에 인수가 넣어야 하잖아요 그럼 Array는 끝났습니다 그런데  A_Mult가 남았네요 A_Mult 생성자를 넣어야 합니다
Array<T,A_Mult<T,A_Scalar<T>,R2> >(A_Scalar<T>(s), b.rep())); 그래서 이렇게 나왔습니다

 x*y
두 배열의 곱셈연산이 호출됩니다

이 연산도 설명해드려야 하는 거죠?? ㅡㅡ;
인자추론을 하면
Array<T,R1> const& a   :   x
Array<T,R2> const& b   :   y
T는 double 이고 R1는 SArray R2는 SArray 입니다
두 배열간 곱셈 연산도 생성자 호출인데요 
A( B(c,d) ) 이런형식 입니다
 
1.2*x + x*y
더하기 입니다

이것도 동일합니다 인자추론하면 어떨까요?
Array<T,R1> const& a    :     1.2*x  타입은  Array<double, A_Mult< double ,A_Scalar< double >,SArray> >
Array<T,R2> const& b    :      x*y  타입은   Array< double , A_Mult< double , SArray , SArray > >
T는 double이고 R1는  A_Mult< double ,A_Scalar< double >,SArray> , R2는  A_Mult< double , SArray , SArray > 입니다

리턴타입은   Array<double, A_Add<double,  A_Mult< double ,A_Scalar< double >,SArray> ,
   A_Mult< double , SArray , SArray > > >입니다

겁나 거대한 클래스가 만들어졌습니다
어떤 객체에 무슨 연산이 적용되었는지 기록 한 객체가 만들어 졌습니다
이제 실제 연산을 해봅시다
x = 1.2*x + x*y 

 Array의 할당연산자는 이렇게 구현되어 있었습니다

반복문을 돌면서 할당하고 있습니다
[]연산자를 사용하고 있네요 A_Add 에서는

 op1[idx] + op2[idx]
op1 은 A_Mult< double ,A_Scalar< double >,SArray>
op2 는 A_Mult< double , SArray , SArray >
[] 연산자를 사용합니다 A_Mult 에서는

이렇게 됩니다
Array의 할당 연산이 배열크기만큼 할당을 하며,
A_Add, A_Mult 의 [] 연산이 자신들이 저장하고 있는 배열의 계산을 해버립니다
실질적으로 이런연산이 됩니다

발표자료 올립니다
버전업 되었습니다



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