Chapter 1, 벡터와 점 #1

1. Vectors

1.1 기하학에서의 벡터

기하학에서 벡터란 크기(길이)와 방향을 갖는 실체(entity) 를 말합니다.
크기가 0 이고 방향이 없는 벡터를 영벡터(zero vector) 라고 하고,
크기가 1 인 벡터를 unit 또는 normalized 벡터라고 부릅니다.

벡터는 그림으로 그리면 한쪽 끝에 화살표가 표시된 선분이며,
벡터는 위치의 개념이 없기 때문에 크기와 방향이 동일하면 같은 벡터입니다.
따라서 다음 4개의 벡터중 처음과 마지막은 동일한 벡터입니다.

벡터는 다음과 같은 대수학적 성질을 갖습니다.

1) v + w = w + v
 

 

2) u + (v + w) = (u + v) + w

3) v + 0 = v
4) 모든 벡터 v 에 대해서 v + (-v) = 0 이 되는 -v 가 존재.
5) (ab)v = a(bv)
6) (a+b)v = av + bv 
7) a(v + w) = av + aw
8) 1 · v = v

1.2 선형 결합 (Linear Combinations)

n 개의 벡터로 구성된 S 를 가정 할 때 다음과 같이 임의의 스칼라 a0~an-1 를 곱하여 더함으로써
새로운 벡터 v 를 만들어내는 것을 선형 결합 이라고 합니다.
 
v = a0v0 + a1v1 + ... + an-1vn-1

그림 처럼 S 로 부터 가능한 모든 선형 결합을 통해 새로운 벡터셋 T 를 만들게 되면
이 T 는 S 의 span 이 됩니다.

span 의 정의(위키백과) :
Given a vector space V over a field K, the span of a set S (not necessarily finite) is
defined to be the intersection W of all subspaces of V which contain S. 
W is referred to as the subspacespanned by S, or by the vectors in S.
Conversely, S is called a spanning set of W 
더하기(addition)와 곱하기(multiplication) 에 닫힌 영역(field) k 위의 벡터 공간 V 가 주어졌을 때,
벡터셋 S(꼭 유한할 필요는 없음)의 span 은 S 를 포함하는 V 의 모든 부분공간 W 의 교집합으로
정의됩니다.

(x축과 y축으로 구성되는) 2 차원 평면을 예로 들어 보면
평면상의 벡터들로 어떤식으로 지지고 볶든간에 선형결합의 결과 벡터는
결국 평면 안의 벡터라는 말입니다.

선형 결합 시 스칼라 조합 당 단 한개의 새로운 벡터 vi (0 벡터를 제외)가 만들어 질 때,
우리는 vi 로 이루어진 벡터 셋 S 를 선형 종속적이라고 합니다.

vi = a0 v0 +· · ·+ai−1 vi−1 + ai+1 vi+1 +· · ·+an−1 vn−1  

달리 말하면, 위 식을 만족하는 어떤 vi 도 찾을 수 없다면
v0, ... , v

n-1

벡터셋은 선형 독립적이라고 합니다.

1.3 벡터의 표현 (Vector Representation)

symbolic mathematics ( 회로도 같은 모형으로 함수를 표현하거나 하는 그런.. ) 와
컴퓨터에서 벡터를 그림으로 표현하는 것은 다루기가 불편합니다.
컴퓨터에서 우리가 벡터를 잘 다루기 위해서 3차원의 경우 다음과 같은 표현 방식을 고안해 냈습니다.

v = xi + yj + zk

여기서 i, j, k 는 서로 직교하는 유닛 벡터이고
x, y, z 는 각 방향에 대한 벡터의 크기를 나타냅니다.
그림으로 보면 다음과 같습니다.

이런 식으로 3D 공간 상의 임의의 벡터 v 는 x,y,z 의 순서쌍으로 표현될 수 있습니다.
잘 알려진 바와 같이 여기서 사용하는 기저 벡터 i, j, k 는  (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) 로
나타낼 수 있습니다. 

이와 같은 표현을 통해서 우리는 기하적 벡터들을 대수적으로 표현해 낼 수 있게 됩니다.
3D 공간 상의 벡터 v0 와 v1 의 합은 다음과 같습니다.

두 벡터를 더하는 것은 다음과 같이 각각의 요소를 합하는 것과 같습니다.

벡터의 스칼라배 역시 비슷하게 생각할 수 있습니다.

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